تبليغاتX
امید ریاضی
امید ریاضی
آموزش و پژوهش در زمینه ریاضیات
جمعه 17 آذر1385


           این بی محلی ها هم خودش نوعی جواب است

 

...زبان فارسی می خوندم، درس پنجم... در اتاقمو باز کردم. پالتومو پوشیدم. رفتم تو حیاط، ماه رو دیدم ، دب اکبرو پیدا نکردم. اومدم تو. پالتومو در آوردم. در اتاقو بستم. کتاب زبان فارسی مو برداشتم درس پنجم...

این روزا خیلی بهم ریختم...گاهی دلم برای خودم تنگ می شود، راهم به خویش گاه دو فرسنگ می شود...

فاطمه جوون منو ببخش، خواهش می کنم...

                             

                 دل ما عاشق اگر بود که رسوا می شد

                    عاقبت مشت دلم پیش همه وا می شد

                       دل ما عاشق اگر بود که پژمرده نبود

                         مرده هم بود به دیدار تو احیا می شد

                          خوب کردی که نماندی اگر می ماندی

                           عشق امروزی تو عبرت فردا می شد

                         اگر از روزنه ی عشق فقط می دیدی

                 بدترین حادثه در چشم تو زیبا می شد

              دل با با همه دیوانگی اش عاشق نیست

       چون اگر بود که دیوانه ی رسوا می شد

 

مربع های وفقی:

 

الف) آشنایی

مربعی را وفقی یا «سحر آمیز» می نامند که به مربع کوچک و مساوی تقسیم شود و در این مربع های کوچک، عدد های طبیعی از a تا با

طوری قرار گیرند که مجموع عددهای واقع در خانه های هر سطر یا در هر ستون یا در هر دو قطر مقداری ثابت باشد، مانند مربع 3در3 با نمودار زیر:

 

                                        

به طوری که مشاهده می کنید مجموع عددهای مندرج در خانه های هر سطر یا در هر ستون و همچنین هر قطر برابر 27 است.

عدد n را «رتبه»ی مربع وفقی می گویند؛ پس رتبه ی مربع وفقی بالا 3 است.

مجموع ثابت را «وفق» مربع وفقی می گویند؛ پس وفق مربع وفقی بالا 27 است.

ب) روش تنظیم مربع های وفقی

مربع های وفقی را می توان به دو دسته تقسیم کرد: مربع های وفقی رتبه ی فرد و مربع های وفقی رتبه ی زوج.

 

*روش تنظیم مربع های وفقی رتبه ی فرد:

در خارج مربع وفقی از هر طرف به هر ضلع یک ردیف یک خانه ای، چنان اضافه می کنیم تقارن محفوظ بماند.(یا به گفته بهتر از هر طرف یک خانه از ضلع 5 در 5 کوتاه تر باشد.) چنین شکلی بدست می آید:

 

                                  

اینک عددهای یک تا 9 را با ترتیبی که در شکل بالا دیده می شود در جدول بدست آمده درج می کنیم و هریک از عددهای مندرج در خانه های خارج مربع 3 در 3 اولیه را روی سطر یا ستونی که قرار گرفته اند به تعداد خانه هایی برابر با رتبه مربع وفقی (در این مثال 3) انتقال می دهیم، مربع وفقی تنظیم می شود؛ شکل زیر روشن گر این انتقال است:

 

                           

ادامه مطلب را در پست بعدی بخوانید....


ادامه مطلب

+ ا نوشته شده توسط : آرزو در ساعت 6:43 قبل از ظهر
جمعه 10 آذر1385
/تجربی ها و تهدید!!!/ سرشماری 6 /یک آدم فضایی/ک مثل کاوالیری/هندسه 1/ جواب مساله+تشکر/

 

1) از خودمون

خیلی جای تعجب داره که خواهر آدم قالب نویس و  مخ HTML باشه اما آدم یه قالب درست حسابی وبلاگش نداشته باشه!!! و بخواد تهدید های مکرر بعضیا رو در مورد قالب بشنوه!!!

*راستی بنده همین جا اعلام می کنم نتایج  ششمین سرشماری ملی از  اعتبار کافی برخور دار نیست! چون مامانم اینا همسایه ی طبقه ی پایینمونو جا انداختن!!!!

 

2) از خودمون و از ریاضی

 و اما سوال پست پیش، با تشکر از آقای افشین منش (ریاضیات زیباست) و آقای اسماعیلی فر (لبخند ریاضی) بخاطر اثبات های قشنگی که کرده بودن... من فکر می کردم تعداد بیشتری به مساله جواب بدن!

جواب مساله:

الف) اثبات با استفاده از اصل لانه کبوتر

اگر در میهمانی کسانی را که دست می دهندn  در نظر بگیریم و به کسانی که دست نمی دهند کاری نداشته باشیم هر نفر n-1 بار یا کمتر دست می دهد (چون با توجه به صورت سوال کسی با خودش دست نمی دهد... ) حالا اگر n نفر را کبوتر و تعداد دست دادن ها که n-1  حالت دارد: n-1), (n-2), (n-3),… , 1})} ، را لانه در نظر بگیریم طبق اصل لانه کبوتری حداقل دو نفر وجود دارند که تعداد دست دادن هایشان با هم برابر است.

ب) اثبات با کمک گراف

جواب دوستانمون اونقدر کامل بود که دیگه من هیچی نمی گم و جوابشونو براتون می نویسم.

آقای افشین منش: اگر درجه تمام روس زوج باشد که هیچ. (چون حتما دو راس با درجه مساوی خواهیم داشت- با توجه به نوع مساله).

اما اگر یک راس درجه فرد داشته باشیم آنوقت الزاما باید راس دیگری از درجه فرد وجود داشته باشد (زیرا تعداد رئوس با درجه فرد در یک گراف، عددی زوج است).

آقای اسماعیلی فر: اگر هر نفر رو یک راس بگیریم و هر دست دادن رو یک یال بین اونها اون وقت مساله گرافیکال میشه.

حالا چون تو این گراف طوقه نداریم(کسی با خودش دست نمیده) و این گراف چندگانه است(هیچ دو نفری دوبار یا بیشتر با هم دست نمی دهند) لذا گراف حاصل گراف ساده ست. تعداد دست دادن ها براي هر نفر هم معادل درجه گراف مفروضه.

قضیه: هر گراف ساده n راسي G، با حداقل دو راس داراي دو راس با درجه برابر است.

اثبات: مي دانيم درجه هر راس گراف G متعلق به مجموعه 0و1و ... n-1 است. اگر دو راس از درجه برابر باشند حكم برقرار است. در غير اينصورت (فرض خلف) همه اعداد فوق درجه راسي از گراف G خواهند بود (واضحه كه با اين فرض درجه هيچ دوراسي برابر نيست). مخصوصا اينكه دو راس وجود دارند كه يكي از درجه صفر و يكي از درجه n-1 است كه اين يه تناقضه(چون اگه يك راس درجه اش n-1 باشه اونوقت به همه رئوس ديگر يك يال داره و لذا درجه بقيه رئوس حداقل يك است و صفر بودن درجه يكي از رئوس با اين مطلبي كه بيان كرديم در تناقضه). پس فرض خلف باطل است و لذا دو راس وجود دارند كه از درجه برابرند.

حالا اگه معادل سوال شما رو بخوايم ازين قضيه نتيجه بگيريم داريم:

نتيجه: دو نفر وجود دارند كه تعداد دفعات دست دادنشان با يكديگر برابر است.

 

3) از ریاضی

نمی دونم تا حالا اسم کاوالیری به گوشتون خورده یا نه؟ من خودم هر وقت میگم یا می شنوم «کاوالیری» یاد آدم فضایی ها می افتم...!!!

ولی حتما از کتاب هندسه (1) یادتون هست، اون آخرای کتاب... خوب اگه دانش آموز این نظام آموزشین جای تعجب نداره!!!

«هندسه ی کاوالیری» موضوع این پسته. البته ابهام بوجود نیاد که هندسه ی کاوالیری یه نوع هندسه جدیده، یا یه هندسه ی نااقلیدسیه. این اسم رو من روش گذاشتم به معنی هندسه ای که کاوالیری با اون کار می کرد...

 

*هندسه ی کاوالیری*

 

بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635،  با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت:

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d  رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.

اصل کاوالیری در باره حجم ها:

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...

به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

تمام


ادامه مطلب

+ ا نوشته شده توسط : آرزو در ساعت 7:9 قبل از ظهر
جمعه 3 آذر1385
زمستان-هندسه و ریاضی

 

 

 

1) زمستان

سلامت را نمی خواهند پاسخ گفت

سر ها در گریبان است

کسی سر برنیارد پاسخ گفتن و دیدار یاران را

نگه جز پیش پا را دید، نتواند

که ره تاریک و لغزان است

و گر دست محبت سوی کس یازی

به اکراه آورد دست از بغل بیرون

که سرما سخت سوزان است

نفس کز گرمگاه سینه می آید برون، ابری شود تاریک

چو دیوار ایستد در پیش چشمانت

نفس کین است، پس دیگر چه داری چشم

ز چشم دوستان دور یا نزدیک؟

مسیحای جوانمرد من! ای ترسای پیرهن چرکین!

هوا بس ناجوانمردانه سردست....آی

دمت گرم و سرت خوش باد

سلامم را تو پاسخ گوی در بگشای!

منم من ، میهمان هر شبت، لولی وش مغموم

منم من، سنگ تیپا خورده ی رنجور

منم دشنام پست آفرینش، نغمه ی ناجور

نه از رومم، نه از زنگم، همان بی رنگ بی رنگم

بیا بگشای در بگشای دلتنگم...

حریفا! میزبانا! میهمان سال و ماهت پشت در چون موج می لرزد

تگرگی نیست، مرگی نیست

صدایی گر شنیدی، صحبت سرما و دندان است

من امشب آمدستم وام بگزارم

حسابت را کنار جام بگذارم

چه می گویی که بیگه شد، سحر شد، بامداد آمد؟

فریبت می دهد، بر آسمان این سرخی بعد از سحرگه نیست

حریفا! گوش سرما برده است این، یادگار سیلی سرد زمستان ست.

و قندیل سپهر تنگ میدان، مرده یا زنده،

به تابوت ستبر ظلمت نه توی مرگ اندود، پنهانست

حریفا! رو چراغ باده را بفروز، شب با روز یکسانست

سلامت را نمی خواهند پاسخ گفت

هوا دلگیر، درها بسته، سرها در گریبان

 دست ها پنهان، نفس ها ابر، دلها خسته و غمگین، درختان اسکلت های بلور آجین

زمین دل مرده، سقف آسمان کوتاه

غبار آلوده مهر و ماه

زمستانست.

مهدی اخوان ثالث (م.امید)

 

2) سلام و فراوان سلام  درود و دو صد بدرود

   به شما  دوستان ریاضی خوان و ریاضی خوانان دوست

خوبین؟

نه،اشتباه نیومدین اینجا امید ریاضیه، وبلاگ ادبی مدبی هم نیست!!! البته ببخشید این پست این جوری ادبی شد، دیگه چی کار کنیم که ریاضی و هنر انقدر باهم پیوند نزدیک دارن.

 اول عذر خواهی کنم از همه، اونایی که آفها و میل هاشونو جواب ندادم، اونایی که بهشون سر نزدم و... خلاصه همه ملت مجازی چون تو این دو هفته یه مشکلی پیش اومده بود که نتونستم بهشون سر بزنم یا اصلا این جوری بگم نتونستم بیام اینترنت. 

بعضی بچه ها اشکالای شعرمو گفتن که خیلی منو خوشحال کردن، ممنون. اصلا من به همین خاطر بعضی وقتا شعرا مو میذارم و گرنه بیکار نیستم آبروی چندین ساله ی شعر و ادب ایران رو ببرم. هیچ چیز هم مثل انتقاد منو خوشحال نمی کنه. راستی بگم که فاطمه خانووم هم شاعر تشریف دارن اگه مواقت کنن و شعراشونو بذارن خیلی خوبه. یعنی من فکر کنم همه ملت ایران شاعرن. اگه کسی هم شاعر نبود باید به ایرانی بودنش شک کرد دوستان توجه کنید که قضیه دو شرطی نیست...

 

3) بچه ها، بچه ها یه مسئله:

در یک مهمانی بعضی مهمان ها با هم دست می دهند. اگر کسی با خودش دست ندهد و دو نفر هم بیش از یک بار با هم دست ندهند، ثابت کنید دو نفر یافت می شود که تعداد دفعاتی که دست داده اند یکسان است.

همون جوری که می دونین این مسئله با استفاده از «اصل لانه کبوتری» براحتی قابل حله...اما من فکر می کنم بشه این مسئله رو با گراف هم توجیه کرد... اگه با این فرض جلو بریم صورت سوال ویژگی های گرافی رو که قراره باهاش اثبات کنیم بهمون می گه...به همین خاطر بود که به فاطمه گفتم در مورد گراف بنویسه.

حالا من از شما می خوام برام با گراف این مسئله رو توجیه کنین.

4) پست پیش نه، پیش پیشش من در مورد رابطه هندسه و ریاضی گفتم که این پست رو میخوام انواع هنداس(جمع هندسه!) که کشف شده رو بطور اجمالی بگم، فقط میخوام یه تصور کلی تو ذهنتون ایجاد شه و بس. حالا بخونید:

 

نقش هندسه در ریاضیات2

خواجه نصیر الدین طوسی نخستین اثر مستقل در مثلثات (مثلثات زائیده ی احتیاج مربوط به محاسبات عملی بخصوص نیاز به وسیله ای برای محاسبه ی اجزا اشکال مختلف هندسی می باشد). را به نام «شکل القطاع» Seklolquetta نوشت که پس از ترجمه، مدتها کتاب درسی در اروپا و آمریکا بود. پس از نهضت علمی اروپا، ریاضیدانان بتدریج اعداد منفی و بی نهایت بزرگ و بی نهایت شگفت انگیزی بسط و توسعه دادند که از آن جمله است:

- هندسه ی تحلیلی، که بوسیله ی دکارت در سال 1619 به دنیا معرفی گردید و پیر فرما ریاضیدان فرانسوی نیز تقریبا بطور همزمان با دکارت این هندسه را کشف کرد. (1601-1665)

- هندسه ی تصویری که توسط دزارگ (1593-1662)و بلزپاسکال(1623-1662) ریاضیدان های فرانسوی پایه گذاری شد.

- هندسه ی ترسیمی که بوسیله ی گاسپار مونژ ریاضیدان های فرانسوی(1746-1818) بنیان نهاده و کشف شد.

- محاسبه ی برداری، شاخه ای از هندسه که در رابطه ی تنگاتنگ با نیازهای مکانیک و فیزیک شکل گرفته است. توسط ویلیام هامیلتون(1805-1865) ریاضیدان ایرلندی و هرمان گراسمان(1809-1877) ریاضیدان آلمانی پایه گذاری گردید و ژیبس (1839-1903)فیزیکدان آمریکایی آن را به روش جدید ارائه کرده است.

- هندسه ی دیفرانسیل، که شیب و انحنا منحنی ها و خطوط ژئودزیک geodesic یا کوتاهترین فاصله بین دو نقطه بر روی یک سطح را بررسی می کند، توسط نیوتن و لایب نیتس کشف و پایه گذاری گردید.

- هندسه های نااقلیدسی که جایگاه خاص خویش را دارند، هر هندسه ای غیر از هندسه ی اقلیدسی را هندسه ی نااقلیدسی می نامند.  بسیاری از این گونه هندسه ها تا کنون شناخته شده اند. تلاش برای اثبات اصل توازی اقلیدس، موجب پیدایش هندسه های نااقلیدسی گردید.

دانشمندان در طی 2000 سال تلاش کردند تا اصل توازی را آن چنان ساده و بدیهی هم نبود از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند و یا اصل دیگری را که به خودی خود بداهت بیشتری داشته باشد، جایگزین آن سازند اما همه ی این تلاش ها به ناکامی انجامید.

نخستین تلاشی که برای اثبات اصل توازی به عمل آمد از آن بطلمیوس در قرن دوم میلادی است و سپس پروکلوس در قرن پنجم میلادی سعی نمود که اصل توازی را ثابت کند . مهمترین تلاشی که بعدا برای اثبات اصل توازی به عمل آمد از آن خواجه نصیر الدین طوسی ریاضیدان ایرانی و سپس جان والیس(1616-1703) ریاضیدان انگلیسی است. اصل توازی آن چنان ذهن آدرین ماری لژاندر فرانسوی را که یکی از بهترین ریاضیدانان عصر خود بود و در شاخه های مختلف ریاضی کشف های مهمی دارد، به خود معطوف داشته بود که در طی 29 سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن درج نمود.

فورکوش بویوئی ریاضیدان مجارستانی و جیرو لاموساکری ایتالیایی(1667-1733) نیز در این زمینه تلاش نمودند.

نیکولای لوباچفسکی نخستین کسی بود که در سال 1829 عملا مقاله ای را در زمینه ی هندسه ی نااقلیدسی منتشر کرد. یانوش بویوئی اکتشافات خود در زمینه هندسه نااقلیدسی را در سال 1831 در یک ضمیمه ی 26 صفحه ای در کتاب تنتامن که به پدرش نوشته شده بود منتشر کرد.

گائوس که از 15 سالگی یعنی از 1792 در هندسه ی نااقلیدسی کار می کرده است در حقیقت پیش تر از یانوش بویوئی و لوباچفسکی هندسه ی هذلولی را کشف نمود.

در هندسه ی هذلولی به جای اصل توازی اقلیدس اصل زیر که به اصل هذلولی مشهور است گذاشته می شود:

در هندسه هذلولی یک خط L و یک نقطه P غیر واقع بر L وجود دارند چنان که دست کم دو خط موازی با L از نقطه ی P می گذرد.

هندسه ی دیگر نااقلیدسی هندسه ی بیضوی است که توسط ژرژ فردریک برنهاد ریمان ریاضیدان آلمانی کشف گردید. هندسه ی بیضوی بر این اصل استوار است که از یک نقطه ی P واقع در خارج یک خط مانندL  اصلا نمی توان خطی به موازات خط  L کشید، یعنی هندسه ای که در آن خط موازی وجود ندارد...

پایان

 

 

 

 

 


ادامه مطلب

+ ا نوشته شده توسط : آرزو در ساعت 4:55 قبل از ظهر